雪花旋转一定角度后仍与原来一样，这是人们熟悉的对称性。在量子世界中，有些对称操作并非作用于全局，而是在线、曲面等区域操作，物理学家称之为“高形式对称性”。它广泛存在于规范理论、自旋液体、拓扑量子物态和量子纠错码中。但其长期缺少一个微观判据：如何从格点模型判断对称性是否“反常”？近日，6163银河线路检测中心陈昱安课题组与合作者从局域量子操作出发，给出了反常的微观定义与可计算指标，并把它与量子态约束、对称性的“在位”实现和高维拓扑激发统计联系起来。

从边界构造可计算的反常指标 (Ref.[1])

在物理学中，“反常”是指一个全局对称性在整个系统上可以成立，但当试图让它在不同位置独立变化，也就是把它“规范化”时，可能出现无法自洽的冲突。它会对系统可能出现的基态施加强约束，排除某些保持对称且短程纠缠的普通基态。团队把沿闭合线或曲面实施的高形式对称操作“切开”，只让它作用于有限区域；产生的偏差只能留在边界附近。再逐步降低边界维数，便得到一个不依赖截取方式和局域细节的稳定相位。该相位可直接由格点对称算符计算，构成判断反常的微观指标。在二维有限1-形式对称性中，团队证明该指标准确刻画了无法一致规范化的障碍。若指标非平凡，系统必须通过对称性破缺、无能隙激发或拓扑序回应反常。

膜状激发的广义统计 (Ref.[2])

研究还把高形式反常与膜状激发的统计联系起来。在二维空间，任意子交换后会留下不同于玻色子和费米子的相位；团队进一步追问：更高维的膜状激发能否出现类似现象？在四个空间维度的理论格点模型中，他们设计了一套闭合局域操作，使膜回到原有形状，而量子态保留稳定相位。该相位可作为膜统计的微观指标，并出现由庞特里亚金类刻画的“庞特里亚金统计”。这说明膜的广义统计可理解为高形式反常在边界上的表现。

反常与“在位”实现并非简单对立 (Ref.[3])

对普通内部对称性而言，“在位”意味着整体操作可拆成各格点上的局域操作。直觉上，只有无反常的对称性才能在位实现；团队却发现，高形式对称性更为微妙。对于二维有限1-形式对称性，能否实现为在位形式，不取决于原始反常是否完全消失，而取决于它经过特定降维映射后是否为零。这一“当且仅当”判据把格点模型中的在位性，与场论中只在较低维子空间规范化的“更高规范化”联系起来。

搭起格点模型与连续场论之间的桥梁

三项工作分别回答了如何在格点上识别高形式反常、膜状激发可具有怎样的广义统计，以及何时能把高形式对称性转化为在位形式，共同建立了连接微观格点模型与连续场论的框架。相关方法有助于理解自旋液体、拓扑量子物态和量子纠错码中的量子约束，也为判断非平庸量子物态提供了新工具。

6163银河线路检测中心本科生冯逸韬为三篇文章的第一作者。通讯作者：第一篇 Ryohei Kobayashi、陳昱安、Shinsei Ryu；第二篇陳昱安；第三篇 Ryohei Kobayashi。研究工作得到了国家自然科学基金委员会、6163银河线路检测中心的经费支持。

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