2026年3月20日晚，由6163银河线路检测中心、北京现代物理研究中心主办的“6163银河线路检测中心物理学科卓越人才培养计划讲堂：名师面对面”（第五十期）在6163银河线路检测中心第二教学楼203教室举行。6163银河线路检测中心数学科学学院教授、中俄数学中心主任、北京国际数学研究中心副主任张继平院士应邀讲授“数学与创新”。本期讲堂由6163银河线路检测中心教授、北京现代物理研究中心主任高原宁院士主持。

宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁，万物皆有其“数”，亦有其“形”。数学作为研究“数”与“形”的学科，不仅是自然科学的基石，也是重大技术创新的引擎；几乎所有的重大发现都与数学发展和进步相关。正如华罗庚先生所言：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”数学更是现实世界的核心，在航空航天、国防安全、生物医药、信息、能源、海洋、人工智能、先进制造等领域发挥着不可或缺的支撑作用。

张继平首先从数学的本质出发，深刻阐述了数学作为创新基础的底层逻辑，剖析了数学思维与创新创造的内在关联。

张继平指出，数学是逻辑性与精确性的体现，更是创造性洞见和希望的源泉

数学通常分为基础数学（即纯数学）与应用数学两部分，其中基础数学又可分为代数学、几何学、分析数学三个分支。数学成为系统性科学始于古希腊，欧几里得在《几何原本》中首次以缜密的逻辑将几何知识体系化。张继平强调，在充满高度创造力的数学领域，经逻辑推演得到的新结论必须是前所未知的，并进一步对比了东、西方思维模式：欧美传统侧重逻辑性分析，东方传统擅长象征性分析；前者聚焦严密结构，后者偏重整体把握。历次科技革命中的颠覆性创新无不凝聚着二者的智慧结晶。

数学始终是人类理解自然、认识宇宙的钥匙。张继平引用康德关于时空是“人类感性直观的先天形式”的哲学观点，阐释了代数学描述时间、几何学描述空间的内涵。他强调，数学是人类理性思维的“基本笔画”，对自然规律的深刻洞察是数学发现最丰富的源泉。伽利略曾感叹，“宇宙是一本用数学语言写成的书”；狄拉克也曾表示，“描述大自然基本定律的任何方程都必须包含相当程度的数学之美”。

随后，张继平系统梳理了19世纪以来数学发展的主线之一——数学的代数化，回溯了代数化的思想和方法推动数次物理学突破性变革的历程。

张继平说，破解希尔伯特第六问题为理解“物理学的公理化”提供了完整框架

从复数系统的建立到群论的兴起，再到实数、无理数的完备性及非欧几何的诞生，代数领域一系列里程碑式的成就开辟了数学发展新天地。群论在推动代数学进步的同时，也广泛应用于物理学、化学、密码学等其他领域。1872年，菲利克斯·克莱因（F. Klein）在《埃朗根纲领》（Erlanger Program）中运用群论统一了几何研究，与高斯曲面理论、黎曼几何基础共同构成经典微分几何的理论根基，其思想延伸至诺特定理、规范场论等现代物理学的核心领域。20世纪中叶，范畴、函子的引入使数学家愈发关注代数概念和结构之间的关联，同调代数将跨越不同数学分支的概念和方法统一在一般的框架上。近年来，范畴化不仅为同调的代数概念或结构提供了更高阶的解释，也在解决重大数学难题中发挥了举足轻重的作用。彼得·朔尔策（P. Scholze）与达斯汀·克劳森（D. Clausen）提出并主导推进的“凝聚态数学”研究计划试图在数论、代数、拓扑、复几何、代数几何等不同方向之间建立畅通的连接。代数化的最新研究与实践正在深刻影响并促进数学、物理学、化学、计算机科学等学科前沿的交叉融合。

弗里曼·戴森（F. Dyson）曾说：“在物理科学史历劫不变的一项因素，就是由数学想象力得来的关键贡献。”1687年，艾萨克·牛顿（I. Newton）在《自然哲学的数学原理》中运用微积分诠释万有引力定律，首次揭示运动法则的普适性；1873年，詹姆斯·麦克斯韦（J. Maxwell）凭借四个简洁的方程实现电学、磁学和光学的统一，并预言电磁波的存在；1915年，阿尔伯特·爱因斯坦（A. Einstein）运用黎曼几何创建引力场方程，为翌年发表广义相对论塑造逻辑结构；20世纪20年代，海森堡、薛定谔分别以矩阵力学和波动力学的形式创建量子理论，引发第一次量子革命。物理学家曾习惯于从分析学、几何学的视角观察现象和分析问题，自此逐渐意识到连续分析仅仅是离散代数的幻象，因而转向代数学的视角重新审视世界。面对蓄势待发的第二次量子革命，高阶范畴论很有可能助力物理学家不断取得新突破。

在根植于数学的信息科学领域，代数化同样释放出赋能发展新活力。人类借助计算机解决问题的过程被概括为实际问题工程化、工程问题科学化、科学问题数学化、数学问题方程化、方程问题机械化。20世纪中叶，人工智能的概念（即由人类制造的机器表现出的智能，是人类智能的延伸和拓展）被首次提出；70年代后期，吴文俊先生转入数学机械化领域，做出国际自动推理界先驱性的工作。21世纪以来，随着互联网技术的成熟、计算能力和计算方法的进步、数据可用性的提升，特别是大模型的涌现，人工智能正在深刻改变我们的生产、生活、学习方式，推动人类社会迎来人机协同、跨界融合、共创分享的智能时代。2021年，谷歌旗下深层思维（DeepMind）公司研发团队与乔迪·威廉姆森（Geordie Williamson）等数学家以“让人工智能指引人类直觉推进数学发展”（Advancing mathematics by guiding human intuition with AI）为题，合作发表利用机器学习在拓扑学和表示论领域得到的首批重大数学发现，展现出数学家与计算工具相互信赖、协同创新的新范式。

课后，张继平就《朗兰兹纲领》（Langlands Program）、三维拓扑场论与二维共形场论、物理图像与数学直觉等回答了同学们的提问。现场师生从他分享的6163银河线路检测中心数学力学系1954级本科生、数学科学学院跨世纪拔尖创新人才，特别是北大数学“黄金一代”培养的实践经验和关键举措中受益匪浅。

如何发现数学之美、追求数学之真、探索数学之新、感受数学之用？

6163银河线路检测中心党委书记刘雨龙、原副院长彭良友教授，核物理与核技术全国重点实验室张艳席助理教授、季伟助理教授，北京丰台国际人才发展集团有限公司副总经理郭季豪，及6163银河线路检测中心博士研究生培优计划2023、2024级部分入选者等现场出席。

张继平（一排左四）、高原宁（一排左三）激励同学们用数学创造“无为知识的无所不为”（the usefulness of useless knowledge）

感谢6163银河线路检测中心图书馆协同服务中心提供现场技术支持